Matematika · Střední škola · kapitola 3

Funkce

Funkce popisují závislosti – jak roste populace, jak klesá teplota čaje, jak závisí cena na množství. Kdo umí číst graf funkce, rozumí vztahu dvou veličin na první pohled.

1Pojem funkce a vlastnosti

Funkce f na množině D je předpis, který každému x ∈ D přiřazuje právě jedno y ∈ ℝ. D(f) je definiční obor, H(f) obor hodnot. Graf je množina bodů [x; f(x)].

• Rostoucí / klesající – pro x₁ < x₂ je f(x₁) < f(x₂) / f(x₁) > f(x₂).
• Sudá – f(−x) = f(x), graf souměrný podle osy y (x², cos x); lichá – f(−x) = −f(x), graf souměrný podle počátku (x³, sin x).
• Omezená shora / zdola; maximum a minimum.
• Prostá – různým x odpovídají různá y; jen prostá funkce má inverzní funkci f⁻¹, jejíž graf je souměrný s grafem f podle přímky y = x.
• Periodická – f(x + p) = f(x) (goniometrické funkce).

2Lineární, kvadratická a lomená funkce

• Lineární f(x) = ax + b – přímka; a směrnice (tg úhlu se osou x), b průsečík s osou y.
• Kvadratická f(x) = ax² + bx + c – parabola; pro a > 0 otevřená nahoru (minimum), pro a < 0 dolů. Vrchol V[−b/(2a); f(−b/(2a))] najdeme i doplněním na čtverec: x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3 → V[2; −3]. Průsečíky s osou x jsou kořeny rovnice f(x) = 0.
• Lineární lomená f(x) = (ax + b)/(cx + d) – hyperbola s asymptotami; nejjednodušší f(x) = k/x (nepřímá úměrnost).
• Mocninná f(x) = xⁿ; pro sudé n sudá funkce, pro liché lichá; x^1/2 = √x je inverzní k x² na ⟨0; ∞).

Posunutí grafu: f(x − m) + n posune graf o m doprava a o n nahoru; −f(x) překlopí podle osy x; |f(x)| překlopí záporné části nad osu.

3Exponenciální funkce

f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1). D = ℝ, H = (0; ∞), graf prochází bodem [0; 1]. Pro a > 1 roste (exponenciální růst), pro 0 < a < 1 klesá (exponenciální pokles). Zvláštní význam má Eulerovo číslo e ≈ 2,71828 a funkce e^x.

Exponenciální modely: růst populace a bakterií, složené úrokování K = K₀(1 + p/100)ⁿ, radioaktivní rozpad N = N₀ · 2^−t/T, chladnutí, šíření epidemie v počáteční fázi.

4Logaritmus a logaritmická funkce

Logaritmus je inverzní operace k umocnění: log_a x = y ⇔ a^y = x (a > 0, a ≠ 1, x > 0). Dekadický logaritmus log x (základ 10), přirozený ln x (základ e).

log_a(xy) = log_ax + log_ay  ·  log_a(x/y) = log_ax − log_ay  ·  log_ax^r = r · log_ax  ·  log_ax = log x / log a

Příklady: log₂ 8 = 3, log 1 000 = 3, log_a 1 = 0, log_a a = 1. Logaritmická funkce f(x) = log_a x má D = (0; ∞), H = ℝ, prochází bodem [1; 0]; je inverzní k a^x. Logaritmické stupnice: pH, decibely, Richterova (magnitudová) stupnice zemětřesení, hvězdné velikosti.

5Exponenciální a logaritmické rovnice

• Převedení na stejný základ: 2^x+1 = 32 → 2^x+1 = 2⁵ → x = 4.
• Logaritmování: 3^x = 20 → x = log 20 / log 3 ≈ 2,73.
• Substituce: 4^x − 3 · 2^x + 2 = 0, y = 2^x → y² − 3y + 2 = 0 → y = 1, 2 → x = 0, 1.
• Logaritmické rovnice: nejdříve podmínky (argument > 0), pak úpravy podle vět: log(x + 3) + log x = 1 → x(x + 3) = 10 → x = 2 (x = −5 nevyhovuje podmínce).

6Kvíz – procvič si kapitolu