Matematika · Střední škola · kapitola 5

Planimetrie, stereometrie a analytická geometrie

Geometrie se od Eukleida po Descarta proměnila: k rýsování pravítkem a kružítkem přibyla metoda souřadnic, díky níž lze geometrické úlohy řešit počítáním. Obojí dnes využívají architekti, inženýři i počítačová grafika.

1Planimetrie

Pythagorova věta c² = a² + b² a Eukleidovy věty: o výšce v² = c_a · c_b, o odvěsně a² = c · c_a (c_a, c_b – úseky přepony).
Thaletova věta – úhel nad průměrem je pravý.
Obvodový a středový úhel – středový úhel je dvojnásobkem obvodového nad stejným obloukem; všechny obvodové úhly nad týmž obloukem jsou shodné.
Tětivový čtyřúhelník (vepsaný do kružnice) má součet protějších úhlů 180°; tečnový čtyřúhelník má součty protějších stran stejné.
Množiny bodů daných vlastností: osa úsečky, osa úhlu, kružnice, Thaletova kružnice, rovnoběžky s přímkou.

Shodná zobrazení: osová a středová souměrnost, posunutí (translace), otočení (rotace). Stejnolehlost (homotetie) se středem S a koeficientem κ zvětšuje či zmenšuje útvary; podobné útvary mají obsahy v poměru k² a objemy v poměru k³.

Obsahy: kruhová výseč S = ½ r²α (α v radiánech), délka oblouku l = rα; pravidelný n-úhelník, mezikruží S = π(r₁² − r₂²).

2Stereometrie

Polohové vztahy v prostoru: přímky mohou být rovnoběžné, různoběžné nebo mimoběžné (neleží v jedné rovině). Přímka může s rovinou být rovnoběžná, různoběžná, nebo v ní ležet. Konstruujeme řezy těles rovinou.

Metrické vztahy: vzdálenost bodu od roviny, odchylka přímek, odchylka přímky a roviny, odchylka rovin. Tělesová úhlopříčka krychle u = a√3, kvádru u = √(a² + b² + c²).

Těleso	Objem	Povrch
hranol	V = S_p · v	S = 2S_p + S_pl
jehlan	V = ⅓ S_p v	S = S_p + S_pl
válec	V = πr²v	S = 2πr(r + v)
kužel	V = ⅓ πr²v	S = πr(r + s)
komolý kužel	V = ⅓ πv(r₁² + r₁r₂ + r₂²)	S = π(r₁² + r₂² + s(r₁ + r₂))
koule	V = 4/3 πr³	S = 4πr²

Pravidelných mnohostěnů (Platónských těles) je jen pět: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn. Pro konvexní mnohostěny platí Eulerova věta: v − h + s = 2 (vrcholy − hrany + stěny).

3Vektory

Vektor u = (u₁; u₂) je určen orientovanou úsečkou; souřadnice vektoru AB = B − A. Velikost |u| = √(u₁² + u₂²). Operace: součet, násobek číslem, skalární součin u · v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u||v| cos φ – vektory jsou kolmé, je-li skalární součin nulový. V prostoru navíc vektorový součin (kolmý na oba vektory, jeho velikost je obsah rovnoběžníku).

Vzdálenost bodů |AB| = √((b₁ − a₁)² + (b₂ − a₂)²), střed úsečky S = ((a₁ + b₁)/2; (a₂ + b₂)/2).

4Analytická geometrie přímky a roviny

Parametrické vyjádření přímky: X = A + t · u (u – směrový vektor).
Obecná rovnice přímky: ax + by + c = 0, normálový vektor n = (a; b).
Směrnicový tvar: y = kx + q, k = tg φ.
Vzdálenost bodu od přímky: d = |a x₀ + b y₀ + c| / √(a² + b²).
V prostoru rovnice roviny ax + by + cz + d = 0.

Příklad

Přímka bodem A[1; 2] s normálovým vektorem n = (3; −4): 3x − 4y + c = 0, dosadíme A: 3 − 8 + c = 0 → c = 5 → 3x − 4y + 5 = 0. Vzdálenost počátku od ní: |5| / 5 = 1.

5Kuželosečky

Kuželosečka	Definice	Středová rovnice
kružnice	body ve vzdálenosti r od středu S	(x − m)² + (y − n)² = r²
elipsa	součet vzdáleností od dvou ohnisek je 2a	(x − m)²/a² + (y − n)²/b² = 1
hyperbola	absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od ohnisek je 2a	(x − m)²/a² − (y − n)²/b² = 1
parabola	stejná vzdálenost od ohniska a řídicí přímky	(y − n)² = 2p(x − m)

Kuželosečky vznikají řezem kuželové plochy rovinou. Po elipsách obíhají planety (Kepler), parabolický tvar mají reflektory a satelitní antény, po parabole letí vržené těleso. Vzájemnou polohu přímky a kuželosečky (sečna, tečna, nesečna) zjistíme řešením soustavy rovnic a diskriminantem.