Matematika · Střední škola · kapitola 6
Posloupnosti, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Kolik je možností vyplnit Sportku? Jaká je šance, že dva lidé ve třídě mají narozeniny ve stejný den? Kolik zaplatíme za hypotéku? Diskrétní matematika a statistika jsou dnes všude – od her přes pojišťovnictví po umělou inteligenci.
1Posloupnosti
Posloupnost je funkce definovaná na ℕ: a1, a2, a3, … Zadat ji lze vzorcem pro n-tý člen nebo rekurentně (Fibonacciho posloupnost an+2 = an+1 + an: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…).
| Aritmetická | Geometrická | |
|---|---|---|
| definice | an+1 = an + d (diference) | an+1 = an · q (kvocient) |
| n-tý člen | an = a1 + (n − 1)d | an = a1 · qn−1 |
| součet n členů | sn = n(a1 + an)/2 | sn = a1(qn − 1)/(q − 1) |
| příklad | 2, 5, 8, 11, … | 3, 6, 12, 24, … |
Malý Gauss prý sečetl čísla 1 až 100 během chvilky: 50 dvojic se součtem 101 → 5 050. Nekonečná geometrická řada pro |q| < 1 má součet s = a1/(1 − q): 1 + ½ + ¼ + … = 2. Tak se vyřeší i Zénónův paradox o Achillovi a želvě.
Finanční matematika: složené úrokování Kn = K0(1 + i)n; pravidelné spoření a splácení úvěru (anuita) vedou na součet geometrické řady.
2Kombinatorika
Pravidlo součinu: má-li první volba m možností a druhá n, je všech dvojic m · n (3 trička a 4 kalhoty → 12 oblečení). Pravidlo součtu pro navzájem se vylučující možnosti.
| Výběr k prvků z n | Záleží na pořadí | Nezáleží na pořadí |
|---|---|---|
| bez opakování | variace V(k, n) = n! / (n − k)! | kombinace C(k, n) = n! / (k!(n − k)!) |
| s opakováním | V′(k, n) = nk | C′(k, n) = (n + k − 1 nad k) |
Permutace – uspořádání všech n prvků: P(n) = n! (faktoriál, 0! = 1). 5 knih na polici lze seřadit 5! = 120 způsoby. Permutace s opakováním: počet anagramů slova MAMA je 4!/(2! · 2!) = 6.
- Kolik čtyřmístných PIN kódů existuje? 104 = 10 000 (variace s opakováním).
- Kolika způsoby lze z 20 žáků vybrat předsedu, místopředsedu a pokladníka? V(3, 20) = 20 · 19 · 18 = 6 840.
- Kolik je možných tahů Sportky (6 čísel ze 49)? C(6, 49) = 13 983 816.
Kombinační čísla (n nad k) tvoří Pascalův trojúhelník; platí (n nad k) = (n nad n − k) a (n nad k) + (n nad k + 1) = (n + 1 nad k + 1). Binomická věta: (a + b)n = Σ (n nad k) an−k bk.
3Pravděpodobnost
Klasická pravděpodobnost: P(A) = m / n (počet příznivých / počet všech stejně možných výsledků). 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(A′) = 1 − P(A).
- Sjednocení: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); pro neslučitelné jevy jen součet.
- Nezávislé jevy: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Pravděpodobnost dvou šestek po sobě je 1/36.
- Podmíněná pravděpodobnost P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B); Bayesova věta – základ lékařských testů a filtrů spamu.
- Binomické rozdělení – pravděpodobnost k úspěchů v n nezávislých pokusech: (n nad k) pk(1 − p)n−k.
Ve skupině 23 lidí je pravděpodobnost, že aspoň dva mají narozeniny ve stejný den, už přes 50 %; při 50 lidech asi 97 %. Snáz se počítá doplňkový jev: P = 1 − (365 · 364 · … · 343) / 36523.
4Statistika
- Míry polohy: aritmetický průměr x̄, medián, modus; vážený průměr.
- Míry variability: rozpětí, rozptyl s2 = Σ(xi − x̄)2/n, směrodatná odchylka s = √(s2), kvartily a krabicový graf.
- Četnosti: absolutní, relativní; histogram.
- Normální (Gaussovo) rozdělení – zvonovitá křivka; přibližně 68 % hodnot leží v intervalu x̄ ± s, 95 % v x̄ ± 2s (výška lidí, chyby měření, IQ).
- Korelace vyjadřuje míru lineární závislosti dvou veličin – ale korelace neznamená příčinnou souvislost (prodej zmrzliny a počet utonulých spolu korelují, protože oba rostou v létě).