Matematika · Střední škola · kapitola 1
Množiny, logika a čísla
Matematika stojí na přesném jazyce. Výroková logika říká, jak správně usuzovat, teorie množin dává společný základ všem pojmům. Bez nich by nebylo možné nic dokázat – a důkaz je v matematice to nejdůležitější.
1Výroky a logické spojky
Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, zda je pravdivé, nebo nepravdivé („7 je prvočíslo“). Otázka nebo rozkaz výrokem nejsou.
| A | B | ¬A | A ∧ B | A ∨ B | A ⇒ B | A ⇔ B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
¬ negace, ∧ konjunkce (a zároveň), ∨ disjunkce (nebo – nevylučovací), ⇒ implikace (jestliže…, pak…), ⇔ ekvivalence (právě tehdy, když). Implikace je nepravdivá jen tehdy, když z pravdivého předpokladu plyne nepravdivý závěr.
- De Morganovy zákony: ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B; ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B.
- Negace implikace: ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B („Prší a nevezmu si deštník.“).
- Kvantifikátory: obecný ∀ (pro každé) a existenční ∃ (existuje). Negace: ¬(∀x: V(x)) ⇔ ∃x: ¬V(x). Negace „Všichni žáci umějí plavat“ je „Alespoň jeden žák neumí plavat“.
2Důkazy
- Přímý důkaz – řetězec implikací od předpokladů k závěru.
- Nepřímý důkaz – dokážeme obměnu ¬B ⇒ ¬A (je s A ⇒ B ekvivalentní).
- Důkaz sporem – předpokládáme negaci tvrzení a dojdeme ke sporu. Klasika: √2 je iracionální; prvočísel je nekonečně mnoho (Eukleidés).
- Matematická indukce – tvrzení platí pro n = 1 a z platnosti pro n plyne platnost pro n + 1; pak platí pro všechna přirozená n. Příklad: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
3Množiny
Množina je soubor prvků; zapisujeme výčtem {1, 2, 3} nebo charakteristickou vlastností {x ∈ ℝ; x > 0}. Prázdná množina ∅.
- Sjednocení A ∪ B (prvky alespoň jedné), průnik A ∩ B (prvky obou), rozdíl A \ B, doplněk A′ v základní množině, podmnožina A ⊂ B.
- Vztahy znázorňujeme Vennovými diagramy. Počet prvků sjednocení: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
- Intervaly: uzavřený ⟨a; b⟩, otevřený (a; b), polouzavřené, neomezené (−∞; a⟩.
Ve třídě 30 žáků hraje 18 fotbal, 12 volejbal a 5 oba sporty. Kolik nehraje žádný? |F ∪ V| = 18 + 12 − 5 = 25 → nehraje 5 žáků.
4Číselné obory a absolutní hodnota
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Racionální čísla mají konečný nebo periodický rozvoj (0,36 = 36/99 = 4/11). Iracionální čísla (√2, π, e) tvoří spolu s racionálními reálná čísla.
Absolutní hodnota: |x| = x pro x ≥ 0, |x| = −x pro x < 0; geometricky vzdálenost od nuly, |a − b| vzdálenost čísel na ose. Rovnici |x − 3| = 5 vyhovují x = 8 a x = −2.
Mocniny s racionálním exponentem: am/n = ⁿ√(am) pro a > 0; např. 82/3 = 4, 16−1/2 = 1/4. Usměrňování zlomků: 1/√2 = √2/2.
5Komplexní čísla
Rovnice x2 = −1 nemá v ℝ řešení. Zavádíme imaginární jednotku i, i2 = −1. Komplexní číslo z = a + bi (a – reálná část, b – imaginární část) zobrazujeme v Gaussově rovině.
- Sčítání a násobení: (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i2 = 5 + i.
- Komplexně sdružené číslo z̄ = a − bi; z · z̄ = a2 + b2. Dělení rozšířením sdruženým číslem.
- Absolutní hodnota |z| = √(a2 + b2).
- Goniometrický tvar z = |z|(cos φ + i sin φ); Moivreova věta zn = |z|n(cos nφ + i sin nφ).
V komplexních číslech má každá kvadratická rovnice dva kořeny: x2 + 4 = 0 → x = ±2i. Eulerova rovnost eiπ + 1 = 0 spojuje pět nejdůležitějších čísel matematiky.