Matematika · Základní škola · kapitola 1

Čísla a početní operace

Čísla provázejí lidstvo od pravěkých zářezů na kostech po počítače. Naučit se s nimi jistě zacházet – sčítat, násobit, dělit, počítat se zlomky a mocninami – je základ celé matematiky i každodenního života.

1Číselné obory

• Přirozená čísla ℕ = {1, 2, 3, …} – čísla k počítání předmětů.
• Celá čísla ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} – přidávají nulu a záporná čísla (teploty pod nulou, dluhy, nadmořská výška pod hladinou moře).
• Racionální čísla ℚ – lze je zapsat jako zlomek a/b (b ≠ 0): ½, −3/4, 0,25, 0,333… Jejich desetinný rozvoj je konečný nebo periodický.
• Iracionální čísla – nelze je zapsat zlomkem, desetinný rozvoj je nekonečný a neperiodický: √2 = 1,41421…, π = 3,14159…
• Reálná čísla ℝ – racionální a iracionální dohromady; zobrazují se na číselné ose.

Absolutní hodnota |a| je vzdálenost čísla od nuly na číselné ose: |−5| = 5, |3| = 3. Opačné číslo k 7 je −7.

2Početní operace a jejich pořadí

Pořadí operací: 1) závorky, 2) mocniny a odmocniny, 3) násobení a dělení (zleva doprava), 4) sčítání a odčítání (zleva doprava).

3 + 4 · 2 = 11   ·   (3 + 4) · 2 = 14   ·   20 − 2³ : 4 = 18

Vlastnosti: sčítání a násobení jsou komutativní (a + b = b + a) a asociativní; platí distributivní zákon a · (b + c) = a·b + a·c. Nulou dělit nelze.

Počítání se zápornými čísly: odečíst záporné číslo znamená přičíst opačné: 5 − (−3) = 8. Při násobení a dělení: stejná znaménka dávají kladný výsledek, různá záporný: (−4) · (−3) = 12, (−12) : 4 = −3.

3Dělitelnost

Prvočíslo má právě dva dělitele – jedničku a sebe: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… (1 není prvočíslo, 2 je jediné sudé prvočíslo). Ostatní čísla větší než 1 jsou složená a lze je jednoznačně rozložit na prvočinitele: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5. Prvočísel je nekonečně mnoho (dokázal Eukleidés).

• Největší společný dělitel NSD(24, 36) = 12 – součin společných prvočinitelů v nejmenších mocninách. Využití: krácení zlomků, dělení na stejné díly.
• Nejmenší společný násobek n(4, 6) = 12 – využití: společný jmenovatel, kdy se znovu potkají dva autobusy.

4Zlomky

Zlomek a/b: čitatel a, jmenovatel b. Krácení a rozšiřování nemění hodnotu: 6/8 = 3/4 = 9/12.

• Sčítání a odčítání – převedeme na společný jmenovatel: 1/4 + 2/3 = 3/12 + 8/12 = 11/12.
• Násobení – čitatel krát čitatel, jmenovatel krát jmenovatel: 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5.
• Dělení – násobíme převrácenou hodnotou: 3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1 = 3/2.
• Smíšené číslo: 2 ¾ = 11/4.

Zlomek převedeme na desetinné číslo dělením: 3/8 = 0,375, 1/3 = 0,333… = 0,3 (periodické číslo).

5Mocniny a odmocniny

aⁿ = a · a · … · a (n činitelů): 2⁵ = 32, 10³ = 1 000. Pravidla:

a^m · aⁿ = a^m+n  ·  a^m : aⁿ = a^m−n  ·  (a^m)ⁿ = a^m·n  ·  a⁰ = 1  ·  a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Druhá odmocnina √a je nezáporné číslo, jehož druhá mocnina je a: √49 = 7, √0,25 = 0,5. Druhé mocniny čísel 1–20 je dobré znát zpaměti (11² = 121, 12² = 144, 15² = 225…). Zápis v desítkové soustavě s mocninou deseti (vědecký zápis): 300 000 000 = 3 · 10⁸, 0,000 5 = 5 · 10⁻⁴.

6Zaokrouhlování a odhad

Při zaokrouhlování rozhoduje první vynechaná číslice: 0–4 zaokrouhlujeme dolů, 5–9 nahoru. 3,146 na setiny = 3,15; 47 862 na tisíce = 48 000. Před výpočtem na kalkulačce je dobré udělat odhad – odhalí hrubé chyby: 39 · 51 ≈ 40 · 50 = 2 000 (přesně 1 989).

7Kvíz – procvič si kapitolu