Matematika · Základní škola · kapitola 2
Poměr, úměrnost a procenta
Sleva 30 %, mapa v měřítku 1 : 50 000, recept pro čtyři osoby, který chceme uvařit pro šest – s poměry a procenty se setkáváme denně. Stačí pochopit několik jednoduchých principů.
1Poměr
Poměr a : b vyjadřuje, kolikrát je jedna veličina větší než druhá. Poměr můžeme krátit i rozšiřovat: 12 : 8 = 3 : 2. Rozdělení v poměru: 600 Kč rozdělíme v poměru 2 : 3 → celkem 5 dílů, 1 díl = 120 Kč → 240 Kč a 360 Kč.
Měřítko mapy 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm = 500 m ve skutečnosti. Vzdálenost 6 cm na mapě je tedy 3 km.
2Přímá a nepřímá úměrnost
- Přímá úměrnost – kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zvětší druhá: y = k · x. Příklad: cena a počet rohlíků, dráha a čas při stálé rychlosti. Grafem je přímka procházející počátkem.
- Nepřímá úměrnost – kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se druhá zmenší: y = k / x. Příklad: počet dělníků a doba práce, rychlost a doba jízdy. Grafem je hyperbola.
Trojčlenka
5 kg jablek stojí 150 Kč. Kolik stojí 8 kg? 5 kg … 150 Kč, 8 kg … x Kč. Více kilogramů → více korun (šipky stejným směrem): x = 150 · 8/5 = 240 Kč.
4 malíři vymalují školu za 6 dní. Za kolik dní ji vymaluje 8 malířů? Více malířů → méně dní (šipky opačně): x = 6 · 4/8 = 3 dny.
3Procenta
Procento je setina celku: 1 % = 1/100 = 0,01. Při výpočtech rozlišujeme:
- základ z – celek (100 %),
- procentová část č – část celku,
- počet procent p – kolik procent tvoří část.
č = z · p / 100 · z = č · 100 / p · p = č / z · 100
| Úloha | Výpočet | Výsledek |
|---|---|---|
| Kolik je 15 % z 840 Kč? | 840 · 0,15 | 126 Kč |
| Z kolika je 30 % rovno 45? | 45 : 0,3 | 150 |
| Kolik procent je 18 z 72? | 18 : 72 · 100 | 25 % |
Užitečné převody: 50 % = ½, 25 % = ¼, 20 % = 1/5, 10 % = 1/10, 75 % = ¾. Promile ‰ je tisícina (obsah alkoholu v krvi, sklon silnice).
4Procenta v životě
- Sleva 20 % z ceny 1 500 Kč: nová cena = 1 500 · 0,8 = 1 200 Kč.
- Zdražení o 10 %: nová cena = původní · 1,1.
- Pozor: zdražení o 10 % a pak zlevnění o 10 % nevrátí původní cenu: 100 → 110 → 99 Kč.
- DPH (daň z přidané hodnoty) v ČR je 21 % (u některého zboží 12 %): cena bez daně 1 000 Kč → s DPH 1 210 Kč.
- Úrok: banka připíše za rok 3 % z vkladu 20 000 Kč → 600 Kč (před zdaněním). Při složeném úrokování se úroky připisují k vkladu a příští rok se úročí i ony – po 10 letech při 3 % vzroste vklad na 20 000 · 1,0310 ≈ 26 878 Kč. U půjček funguje složené úročení proti nám – sledujte RPSN (roční procentní sazbu nákladů).
Procenta často znázorňujeme kruhovým (výsečovým) grafem: celý kruh = 100 % = 360°, 1 % = 3,6°. Podíl 25 % odpovídá výseči 90°.