Matematika · Základní škola · kapitola 3

Výrazy a rovnice

Algebra nahrazuje čísla písmeny, a díky tomu umí řešit úlohy obecně – jedním postupem pro všechny případy. Slovo algebra pochází z názvu knihy perského matematika al-Chorezmího z 9. století.

1Výrazy s proměnnou

Proměnná je písmeno zastupující číslo. Výraz 2a + 3 má pro a = 4 hodnotu 11. Mnohočlen je součet členů, např. 3x² − 5x + 2. Sčítat a odčítat lze jen stejné (podobné) členy: 3x + 5x = 8x, ale 3x + 5y zjednodušit nelze.

Roznásobování: 3(x − 4) = 3x − 12; (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
Vytýkání (opak roznásobování): 6x + 9 = 3(2x + 3); x² − 4x = x(x − 4).

2Algebraické vzorce

(a + b)² = a² + 2ab + b² · (a − b)² = a² − 2ab + b² · a² − b² = (a + b)(a − b)

Příklady: (x + 3)² = x² + 6x + 9; (2y − 1)² = 4y² − 4y + 1; x² − 25 = (x + 5)(x − 5). Vzorce zrychlují i počítání zpaměti: 51² = (50 + 1)² = 2 500 + 100 + 1 = 2 601; 49 · 51 = 50² − 1 = 2 499.

Lomené výrazy obsahují proměnnou ve jmenovateli: (x + 1)/(x − 2). Musíme uvést podmínky – jmenovatel nesmí být nula, tedy x ≠ 2. Krátíme jen součiny, nikdy jednotlivé sčítance!

3Lineární rovnice

Rovnice je rovnost dvou výrazů s neznámou. Řešit ji znamená najít čísla (kořeny), pro která platí. Používáme ekvivalentní úpravy – na obě strany provádíme totéž:

přičtení nebo odečtení stejného čísla či výrazu,
vynásobení nebo vydělení stejným nenulovým číslem.

Řešený příklad

3(x − 2) + 4 = x + 6
3x − 6 + 4 = x + 6   (roznásobení)
3x − 2 = x + 6
2x = 8   (−x, +2)
x = 4   (: 2)

Zkouška: L = 3 · 2 + 4 = 10, P = 4 + 6 = 10. L = P ✓

Rovnice může mít jedno řešení, žádné řešení (0 · x = 5) nebo nekonečně mnoho řešení (0 · x = 0). Rovnici se zlomky vynásobíme nejmenším společným násobkem jmenovatelů.

4Slovní úlohy

Přečti zadání a urči, co hledáš – to označ neznámou x.
Ostatní údaje vyjádři pomocí x.
Sestav rovnici, vyřeš ji a proveď zkoušku podle textu úlohy.
Napiš odpověď větou.

Příklad

Otec je o 28 let starší než syn, dohromady mají 48 let. Kolik je synovi? Syn x, otec x + 28: x + x + 28 = 48 → 2x = 20 → x = 10. Synovi je 10 let, otci 38.

Úloha o pohybu

Z měst vzdálených 210 km vyjedou proti sobě auto (80 km/h) a motorka (60 km/h). Za jak dlouho se potkají? 80t + 60t = 210 → 140t = 210 → t = 1,5 h.

5Soustava dvou rovnic

Soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými řešíme dosazovací nebo sčítací metodou:

x + y = 10 · x − y = 4

Sečtením rovnic: 2x = 14 → x = 7, dosazením y = 3. Graficky je řešením průsečík dvou přímek.

6Vyjádření neznámé ze vzorce

Ze vzorců fyziky a geometrie často potřebujeme vyjádřit jinou veličinu. Postupujeme stejně jako u rovnic: ze s = v · t je t = s / v; z obsahu lichoběžníku S = (a + c) · v / 2 je v = 2S / (a + c).