Matematika · Základní škola · kapitola 5
Tělesa, data a funkce
Kolik vody se vejde do bazénu? Kolik barvy potřebujeme na natření plechovky? Jak vyčíst z grafu, jestli rostou ceny? Geometrie prostoru, statistika a funkce propojují matematiku se skutečným světem.
1Tělesa – povrch a objem
Povrch je součet obsahů všech stěn (kolik papíru potřebujeme na zabalení), objem udává, kolik prostoru těleso zaujímá (kolik se do něj vejde).
| Těleso | Objem | Povrch |
|---|---|---|
| krychle (hrana a) | V = a3 | S = 6a2 |
| kvádr (a, b, c) | V = a · b · c | S = 2(ab + bc + ac) |
| hranol | V = Sp · v | S = 2Sp + Spl |
| válec (r, v) | V = πr2v | S = 2πr2 + 2πrv |
| jehlan | V = ⅓ Sp · v | S = Sp + Spl |
| kužel (r, v, strana s) | V = ⅓ πr2v | S = πr2 + πrs |
| koule (r) | V = 4/3 πr3 | S = 4πr2 |
Jehlan a kužel mají třetinový objem proti hranolu a válci se stejnou podstavou a výškou – lze to ověřit přeléváním vody. Jednotky objemu: 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 l; 1 dm3 = 1 l = 1 000 cm3 = 1 000 ml; 1 hl = 100 l.
Bazén ve tvaru kvádru má rozměry 8 m × 4 m × 1,5 m. Objem V = 8 · 4 · 1,5 = 48 m3 = 48 000 litrů. Plechovka (válec) s r = 4 cm a v = 12 cm má objem π · 16 · 12 ≈ 603 cm3 ≈ 0,6 l.
2Statistika
Statistika sbírá, třídí a vyhodnocuje data. Soubor hodnot charakterizujeme:
- Aritmetický průměr – součet hodnot dělený jejich počtem.
- Medián – prostřední hodnota po seřazení (u sudého počtu průměr dvou prostředních). Méně ho ovlivní extrémní hodnoty – proto se u platů často uvádí medián.
- Modus – nejčastější hodnota.
Známky: 1, 2, 2, 3, 1, 2, 5. Průměr = 16 / 7 ≈ 2,29; seřazeno 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5 → medián 2; modus 2.
Grafy: sloupcový (porovnání kategorií), spojnicový (vývoj v čase), výsečový (podíly celku). Pozor na zavádějící grafy – osa, která nezačíná nulou, může malý rozdíl opticky zvětšit.
3Pravděpodobnost
Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo od 0 (jev nemožný) do 1 (jev jistý):
P = počet příznivých výsledků / počet všech možných výsledků
Na hrací kostce padne šestka s pravděpodobností 1/6, sudé číslo s pravděpodobností 3/6 = ½. Z balíčku 32 karet vytáhneme eso s pravděpodobností 4/32 = 1/8. Při velkém počtu pokusů se relativní četnost blíží pravděpodobnosti (zákon velkých čísel) – ale kostka si „nepamatuje“: po pěti lichých hodech je šance na sudé stále ½.
4Souřadnice a funkce
Kartézská soustava souřadnic (René Descartes) má vodorovnou osu x a svislou osu y; bod A[3; −2] leží 3 jednotky vpravo a 2 dolů od počátku O[0; 0].
Funkce je předpis, který každému x z definičního oboru přiřadí právě jedno y. Lze ji zadat tabulkou, grafem nebo rovnicí.
- Přímá úměrnost y = kx – graf je přímka procházející počátkem.
- Lineární funkce y = kx + q – graf je přímka; k (směrnice) určuje sklon (k > 0 funkce roste, k < 0 klesá, k = 0 konstantní), q je průsečík s osou y. Příklad: cena taxíku 50 Kč nástupní + 30 Kč za km: y = 30x + 50.
- Nepřímá úměrnost y = k/x – graf je hyperbola, nikdy neprotne osy.
Pro y = 2x − 1 stačí dva body: x = 0 → y = −1, x = 2 → y = 3. Body [0; −1] a [2; 3] spojíme přímkou. Průsečík s osou x: 2x − 1 = 0 → x = 0,5.