Matematika · Základní škola · kapitola 4
Geometrie v rovině
Geometrie (doslova „měření země“) vznikla ve starověkém Egyptě, kde bylo po každé záplavě Nilu potřeba znovu vyměřit pole. Řekové z ní udělali vědu, ve které se každé tvrzení dokazuje – Eukleidovy Základy se učily přes dva tisíce let.
1Body, přímky a úhly
Základní útvary: bod, přímka (nekonečná), polopřímka, úsečka (má dva krajní body a délku). Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, nebo různoběžné (mají průsečík); kolmé přímky svírají pravý úhel.
| Úhel | Velikost |
|---|---|
| ostrý | menší než 90° |
| pravý | 90° |
| tupý | mezi 90° a 180° |
| přímý | 180° |
| plný | 360° |
Vedlejší úhly dávají dohromady 180°, vrcholové úhly jsou shodné. Při protnutí rovnoběžek příčkou jsou souhlasné a střídavé úhly shodné. 1° = 60′ (minut).
2Trojúhelník
- Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°.
- Trojúhelníková nerovnost: součet délek dvou stran je vždy větší než třetí strana (ze stran 2, 3 a 7 cm trojúhelník nesestrojíme).
- Podle stran: obecný, rovnoramenný (dvě strany stejné, úhly při základně shodné), rovnostranný (všechny strany stejné, úhly 60°). Podle úhlů: ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý.
- Významné prvky: výška (kolmice z vrcholu na protější stranu), těžnice (spojuje vrchol se středem protější strany; protínají se v těžišti), kružnice opsaná (střed v průsečíku os stran) a vepsaná (střed v průsečíku os úhlů).
Shodnost trojúhelníků dokazujeme větami sss, sus, usu, Ssu. Podobné trojúhelníky mají stejné úhly a strany v poměru (koeficient podobnosti k); využívá se k měření výšky stromu podle stínu.
3Pythagorova věta
V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami:
c2 = a2 + b2
Přepona c leží proti pravému úhlu a je nejdelší, odvěsny a, b svírají pravý úhel. Nejznámější „pythagorejská trojice“ je 3, 4, 5 (9 + 16 = 25) – starověcí stavitelé ji používali k vytyčení pravého úhlu provazem s 12 uzly.
Žebřík dlouhý 5 m je opřen o zeď, jeho pata je 1,4 m od zdi. Do jaké výšky dosahuje? h = √(52 − 1,42) = √(25 − 1,96) = √23,04 = 4,8 m. Úhlopříčka čtverce se stranou a je a√2, výška rovnostranného trojúhelníku a√3/2.
4Čtyřúhelníky a mnohoúhelníky
Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, n-úhelníku (n − 2) · 180°. Rovnoběžníky mají obě dvojice protějších stran rovnoběžné: čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník; jejich úhlopříčky se navzájem půlí. Lichoběžník má jen jednu dvojici rovnoběžných stran (základny).
| Útvar | Obvod | Obsah |
|---|---|---|
| čtverec | o = 4a | S = a2 |
| obdélník | o = 2(a + b) | S = a · b |
| rovnoběžník | o = 2(a + b) | S = a · va |
| trojúhelník | o = a + b + c | S = a · va / 2 |
| lichoběžník | o = a + b + c + d | S = (a + c) · v / 2 |
| kruh | o = 2πr = πd | S = πr2 |
Jednotky obsahu: 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2, 1 a (ar) = 100 m2, 1 ha = 10 000 m2, 1 km2 = 100 ha.
5Kružnice, kruh a číslo π
Kružnice je množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost r (poloměr); kruh zahrnuje i vnitřek. Průměr d = 2r. Poměr obvodu kružnice k jejímu průměru je pro všechny kružnice stejný – je to číslo π ≈ 3,14159. Je iracionální, jeho desetinný rozvoj nikdy nekončí a neopakuje se. Archimédes ho odhadl pomocí mnohoúhelníků vepsaných a opsaných kružnici (mezi 3 10/71 a 3 1/7); v praxi stačí π ≈ 3,14 nebo 22/7.
Kolo jízdního kola má průměr 70 cm. Jakou dráhu ujede za jednu otáčku? o = π · d = 3,14 · 70 ≈ 220 cm. Obsah kruhové pizzy o průměru 30 cm je π · 152 ≈ 707 cm2 – pizza o průměru 40 cm má téměř dvojnásobnou plochu (1 257 cm2).
Thaletova věta: všechny úhly nad průměrem kružnice (s vrcholem na kružnici) jsou pravé. Tečna ke kružnici je kolmá k poloměru v bodě dotyku.
6Souměrnost a konstrukce
Osová souměrnost – útvar se překlopí podle osy (motýl, list, mnoho písmen: A, H, M). Středová souměrnost – útvar se otočí o 180° kolem středu (rovnoběžník, písmena N, S, Z). Osově i středově souměrný je čtverec, obdélník, kružnice. Konstrukční úlohy řešíme postupem: rozbor (náčrt), zápis postupu konstrukce, konstrukce pravítkem a kružítkem, zkouška a diskuze počtu řešení.