Fyzika · Střední škola · kapitola 5

Kmitání, vlnění a akustika

Kmitá kyvadlo hodin, struna kytary, atomy v krystalu i elektrický proud v obvodu. Když se kmitání přenáší prostředím, vzniká vlnění – zvuk, vlny na vodě, zemětřesení. Matematický popis je pro všechny stejný.

1Harmonické kmitání

Kmitavý pohyb se pravidelně opakuje kolem rovnovážné polohy. Nejjednodušší je harmonické kmitání, jehož průběh popisuje sinusoida:

y = y_m · sin(ωt + φ₀)   ·   ω = 2π f = 2π / T

y – okamžitá výchylka, y_m – amplituda, ω – úhlová frekvence, φ₀ – počáteční fáze. Harmonické kmitání je průmětem rovnoměrného pohybu po kružnici do přímky. Rychlost a zrychlení: v = ωy_m cos(ωt + φ₀), a = −ω² y – zrychlení je úměrné výchylce a míří do rovnovážné polohy.

2Oscilátory

• Pružinový oscilátor (těleso na pružině s tuhostí k): síla pružnosti F = −k y; vlastní perioda T = 2π √(m / k).
• Matematické kyvadlo (hmotný bod na vlákně délky l, malé výchylky): T = 2π √(l / g). Perioda nezávisí na hmotnosti ani na amplitudě (izochronismus – Galileo, využito v kyvadlových hodinách, Huygens). Kyvadlo s periodou 2 s („sekundové“) má délku asi 1 m. Foucaultovo kyvadlo dokázalo rotaci Země.

Energie kmitání: při kmitání se kinetická energie přeměňuje na potenciální a zpět, celková energie E = ½ k y_m² je u netlumeného oscilátoru stálá. Ve skutečnosti odpor prostředí kmitání tlumí – amplituda klesá. Dodáváme-li energii periodicky, jde o nucené kmitání; když se frekvence budicí síly blíží vlastní frekvenci oscilátoru, amplituda prudce roste – rezonance. Využití: hudební nástroje, ladění rádia, MRI; nebezpečí: rozkmitání mostů (Tacoma Narrows 1940 – zde šlo o aeroelastické kmitání), vibrace strojů.

3Mechanické vlnění

Vlnění je šíření kmitání prostředím – přenáší se energie, nikoli látka. Příčné vlnění: částice kmitají kolmo ke směru šíření (vlna na laně, vlny na vodě – přibližně); šíří se jen v pevných látkách a na povrchu kapalin. Podélné vlnění: částice kmitají ve směru šíření, vznikají zhuštění a zředění (zvuk); šíří se ve všech skupenstvích.

v = λ · f = λ / T

Vlnová délka λ je vzdálenost dvou nejbližších bodů kmitajících se stejnou fází (vzdálenost sousedních hřbetů vlny).

• Interference – skládání vln: v místech, kam vlny dorazí se stejnou fází, se zesilují (dráhový rozdíl kλ), s opačnou fází se zeslabují (dráhový rozdíl (2k+1)λ/2). Využití: aktivní potlačení hluku ve sluchátkách.
• Stojaté vlnění – vzniká skládáním vlny s odraženou vlnou; má pevné uzly (nekmitají) a kmitny. Na struně upevněné na obou koncích vznikají vlny s λ = 2l / n – základní tón a vyšší harmonické. Tak fungují strunné i dechové nástroje.
• Odraz, lom, ohyb (difrakce) – vlnění se odráží od překážek, láme se na rozhraní a ohýbá za překážky srovnatelné s vlnovou délkou (proto slyšíme za roh). Huygensův princip: každý bod vlnoplochy je zdrojem elementárního vlnění.

4Akustika

Zvuk je podélné mechanické vlnění o frekvencích asi 16 Hz – 20 kHz. Rychlost ve vzduchu při 20 °C je asi 343 m/s (roste s teplotou), ve vodě 1 480 m/s, v oceli asi 5 000 m/s. Vlastnosti zvuku:

• Výška – určená frekvencí; komorní a má 440 Hz, o oktávu výš je dvojnásobná frekvence.
• Barva (témbr) – určená zastoupením vyšších harmonických; proto zní housle jinak než flétna se stejným tónem.
• Intenzita I [W/m²] a hladina intenzity L = 10 · log(I / I₀) [dB], I₀ = 10⁻¹² W/m² (práh slyšení). Zvýšení o 10 dB znamená desetinásobnou intenzitu (subjektivně asi dvojnásobnou hlasitost).

Dopplerův jev (Christian Doppler, 1842, objeven a publikován v Praze): přibližuje-li se zdroj k pozorovateli, ten vnímá vyšší frekvenci, vzdaluje-li se, nižší (siréna sanitky, radar měřící rychlost, ultrazvukové měření průtoku krve, rudý posuv galaxií). Při pohybu zdroje rychleji než zvuk vzniká rázová vlna – aerodynamický třesk.

Ultrazvuk (nad 20 kHz) – sonografie, sonar, čištění, echolokace netopýrů; infrazvuk (pod 16 Hz) – zemětřesení, komunikace slonů a velryb.

5Kvíz – procvič si kapitolu